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terça-feira, 6 de setembro de 2016

Grandes Mestres do Conhecimento... Leonardo Fibonacci

Leonardo Fibonacci, também conhecido como Leonardo de Pisa, Leonardo Pisano ou ainda Leonardo Bigollo, nasceu em Pisa em 1170, cidade onde terá igualmente morrido no ano de 1250.

Fibonacci é atualmente apontado como o primeiro grande matemático europeu da Idade Média e considerado por alguns como o mais talentoso matemático ocidental dessa época. Ficou essencialmente identificado com duas grandiosas conquistas matemáticas: a introdução dos algarismos arábicos na Europa e a descoberta de uma sequência numérica que, após a sua morte, ficou conhecida como a Sequência de Fibonacci.

Leonardo era filho de um abastado mercador de Pisa do qual aliás derivará o seu nome (Fibonacci será a forma reduzida de filius Bonacci - filho de Bonacci - uma vez que o seu pai se chamava Guglielmo dei Bonacci). Na época, Pisa mantinha uma importante atividade comercial nos portos do Mediterrâneo e Guglielmo atuava como representante dos comerciantes da sua região, em Bugia, importante porto exportador situado a leste de Argel, na Argélia. Acompanhando o seu pai, Leonardo, passou alguns anos nessa cidade onde, ainda muito jovem, teve contacto com o mundo do comércio e aprendeu técnicas matemáticas, à época, desconhecidas no Ocidente e que haviam sido difundidas pelos estudiosos muçulmanos nas várias regiões do mundo islâmico.

Ao reconhecer que a aritmética quando suportada com algarismos arábicos, resultava muito mais simples e eficiente do que com os algarismos romanos, Fibonacci viajou por todo o mundo mediterrâneo e chegou até Constantinopla, para aí poder aprofundar os seus estudos com os matemáticos árabes mais importantes da época.

Em 1202, com 32 anos de idade, já em Itália, publicou o “Liber Abaci” (Livro do Ábaco ou Livro de Cálculo) onde apresenta o chamado “modus Indorum” (método dos hindus), hoje conhecido como o sistema dos algarismos arábicos. O livro mostrou a importância prática do novo sistema numeral, aplicando-o à contabilidade comercial, à conversão de pesos e medidas, ao cálculo de juros, às taxas de câmbio e outras aplicações.

O livro foi muito bem recebido em toda a Europa instruída e teve um impacto profundo no pensamento europeu. Este elegante sistema de sinais numéricos, em breve, substituiria o sistema de algarismos romanos.

A segunda edição do “Liber Abaci”, de 1228 foi largamente ampliada face à versão inicial, contém uma grande quantidade de assuntos relacionados com a Aritmética e a Álgebra da época e equaciona e resolve um problema que envolve o crescimento de uma população hipotética de coelhos, relacionando-o com o número de ouro Φ(Phi). A solução deste problema corresponde a uma sequência numérica que mais tarde ficou conhecida como número de Fibonacci.

Depois de 1228, não se tem mais notícias do matemático, exceto por um decreto da República de Pisa datado de 1240 que atribui (…) “ao sério e sábio mestre Leonardo Bigollo, em reconhecimento dos serviços prestados à cidade, particularmente em matéria contábil e na instrução dos cidadãos” (…), um valor pecuniário considerável. Fibonacci morreu alguns anos mais tarde.

No século XIX, foi erguida uma estátua em Pisa em sua homenagem e que hoje está localizada na galeria ocidental do Camposanto, cemitério histórico situado no principal espaço público da cidade italiana de Pisa.



A sequência de Fibonacci e o Número de Ouro

O número de ouro, também conhecido pela letra grega Φ (Phi) e, representado pelo número 1,618, tem fascinado intelectuais e estudiosos de diferentes áreas de conhecimento, há pelo menos 2.400 anos. Não se sabe ao certo a data da sua descoberta, mas um dos registos mais antigos do seu estudo e utilização situa-se no século V a.C e é da autoria de um dos maiores matemáticos de todos os tempos, Pitágoras.

Pelos indícios históricos existentes, é razoável supor que este número tenha sido descoberto e redescoberto diversas vezes, o que explica também a circunstância dele ser conhecido por vários nomes: proporção áurea, número de ouro, número áureo, proporção dourada, razão áurea, razão de ouro, divina proporção, proporção em extrema razão, divisão de extrema razão, ou, simplesmente, Φ (Phi).

Indiscutível é que, ao longo dos tempos este intrigante número foi fascinando gerações e gerações de grandes pensadores. Frequentemente a proporção de 1,618 era utilizada não só por grandes matemáticos, como Pitágoras ou Euclides; como também na arquitetura de antigas civilizações maias no deserto do norte do México; assim como na psicologia, por Platão; na pintura, por Leonardo Da Vinci, Giotto ou Salvador Dalí; na música, por Bach, Mozart e Beethoven; na literatura, por Homero.

Porém, foi Leonardo Fibonacci quem mais (e arriscamos dizer, melhor) a soube utilizar. A contribuição de Fibonacci para o número de ouro surgiu com um estudo que ele efetuou sobre o crescimento de uma população de coelhos. O matemático percebeu que a sequência formada pelos números de filhos gerados mês a mês (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377...) era o resultado da soma dos dois anteriores. E mais: dividindo um número pelo anterior obtinha-se resultados que convergem para o número de ouro, 1,618 ou 61,8%.

Leonardo então concluiu que a razão de 1,618 não só representava uma constante de crescimento de cada ninhada de coelhos, como também era uma constante universal de crescimento e evolução da natureza.

Ou seja; A Sequência de Fibonacci consiste numa sucessão de números inteiros, tais que, definindo os dois primeiros números da sequência como 0 e 1, os números seguintes serão obtidos por meio da soma dos seus dois antecessores. Portanto, os números são: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181... Se agora dividirmos os números da sequência pelos seus sucessores, ou seja: 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21, 21/34, 34/55, 55/89...; a partir da 7ª interação, como por um desígnio transcendente, encontramos ad-infinitum o exato número 0,618...

Em termos matemáticos, a sequência é definida recursivamente pela fórmula abaixo, sendo o primeiro termo F1= 1:



e valores iniciais



E nesta sequência, sempre que se divida qualquer número pelo imediatamente anterior extrai-se a razão (Phi = 1,618) que é uma constante, conhecida como número de ouro ou proporção áurea. Voltando ao problema a que Fibonacci pretendeu dar solução e que consiste no cálculo do crescimento de uma população idealizada (não realista biologicamente) de coelhos, o esquema apresenta o número de casais na referida população.


Esta representação ilustra o crescimento populacional de coelhos, assumindo os seguintes pressupostos:
No primeiro mês nasce apenas um casal;
Os casais reproduzem-se apenas após o segundo mês de vida
Não há problemas genéticos no cruzamento consanguíneo
Todos os meses, cada casal fértil dá à luz um novo casal
Os coelhos nunca morrem

Esta sequência de Fibonacci aparece em configurações biológicas presentes na natureza, como por exemplo, a disposição dos ramos/galhos das árvores, no desenho do ananás ou da alcachofra.


Em música os números de Fibonacci são utilizados para a afinação dos instrumentos musicais, tal como nas artes visuais para determinar proporções entre elementos formais. Um outro uso interessante, meramente coincidente ou não, da sequência de Fibonacci aplica-se à conversão de milhas em quilómetros.

Para saber aproximadamente a quantos quilómetros correspondem 5 milhas, considera-se este número na sequência de Fibonacci que em milhas corresponderá ao número seguinte: 5 milhas são aproximadamente 8 quilómetros. Com efeito, o fator de conversão entre milhas e quilómetros é de 1.609, ou seja, muito próximo do φ(1.618).

A sequência de Fibonacci tem sido igualmente utilizada em projetos de arquitetura.


A representação gráfica desta sequência numérica transforma-a em quadrados dispostos geometricamente que tornam possível traçar uma espiral perfeita, que nos aparece igualmente em diversos organismos vivos.


Girasol - As suas sementes preenchem o núcleo do girassol, dispostas em dois conjuntos de espirais: geralmente, 21 no sentido dos ponteiros do relógio e 34 no sentido inverso


Pinha - Também aqui o crescimento das sementes origina duas espirais: 8 irradiando no sentido dos ponteiros do relógio e 13 no sentido contrário.


Concha do caramujo - Cada novo segmento tem a dimensão equivalente à soma dos 2 segmentos anteriores.


Apesar de ter origem desconhecida, a omnipresença universal do número de ouro φ é um facto absolutamente surpreendente.

Tanto na natureza como em obras realizadas pelo homem, a proporção 1,618 é facilmente encontrada no comportamento dos átomos, nas espirais das galáxias, na refração da luz, nas ondas do oceano, nos furacões, no crescimento das plantas, nas escamas dos peixes, nas proporções do corpo humano, na arte, na literatura, na música, na arquitetura e até nas oscilações dos preços do mercado financeiro.

A teoria de Elliott

O comportamento dos mercados financeiros desde muito cedo suscitou interesse e estudo dada a sua volatilidade e o seu caráter “caprichoso”. Com o objetivo de diminuir os riscos dos investimentos e identificar potenciais momentos para a realização de lucro, vários analistas se têm especializado no estudo do comportamento das cotações das ações sendo que o norte-americano Ralph Nelson Elliott (1876–1948) foi um dos pioneiros no desenvolvimento de trabalhos de análise financeira.

Ao estudar o histórico das cotações para daí retirar ilações sobre o comportamento do mercado de ações da Bolsa de Valores de Nova Iorque no início do século passado, Elliott concluiu que as flutuações da bolsa não eram aleatórias. Reconheceu que a variação dos preços se comportava de modo cíclico, formando padrões que se iam repetindo obedecendo a uma tendência uniforme. Segundo a teoria desenvolvida por Elliott, um ciclo padrão de tendência de mercado pode ser graficamente representado por oito ondas bem definidas e cada uma delas é formada por grupos menores de ondas que reproduzem o mesmo padrão.


A quinta onda finaliza um período de otimismo, identificado pelo conjunto das ondas numeradas de 1 a 5. Nesse período, as pequenas baixas (potenciais perdas) são superadas por significativas altas (potenciais ganhos) no preço das ações. Porém a partir desse momento tem início um período de queda sustentada no preço das ações, identificado por três ondas, sinalizadas no gráfico pelas letras a, b e c. Durante este período, os ganhos não vão nunca chegar a atingir o pico registado no período anterior.

Além deste padrão gráfico, Elliott investigou uma “medida” para o ciclo de repetição das ondas, recorrendo à Matemática. Como resultado, ele conseguiu encontrar relações entre o comportamento do mercado e a sequência de Fibonacci.

Num enunciado genérico, a Teoria das Ondas de Elliott diz que a razão entre um pico (alta de preços) e um vale (queda dos preços) do gráfico tende a apresentar um valor aproximadamente igual à razão entre dois números sucessivos da sequência de Fibonacci: (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...).

Nessa sequência a razão entre um número e o seu antecessor, a partir do 5º termo (Elliott relaciona esse fato às 5 ondas), é um valor próximo a 1,618, ou seja ao φ número de ouro:




No mercado acionista, a Teoria de Elliott tem sido discutida e aplicada ao longo do tempo, por alguns analistas técnicos da área, para orientar investidores a tomar decisões, ao inferir em que fases das ondas o mercado atual está situado e qual a tendência futura.

Existem hoje várias teorias robustas de análise técnica. No entanto, praticamente todas partem de um fato indiscutível: o comportamento do mercado financeiro é cíclico e segue uma tendência de padrões entre as baixas e as altas dos preços das ações. Mesmo com todas as atuais ferramentas disponíveis no mercado, a sequência de Fibonacci continua a ser a mais credível dada a sua simplicidade na identificação de momentos de entrada, momentos de saída e alertas de perigo.

Fibonacci acreditava que para tudo existe uma reação: a uma impulsão segue-se sempre uma correção (ainda que) parcial. O que Fibonacci fez foi essencialmente estudar essa correlação. Para tal criou números e uma sequência que levou o seu nome, que pode ser encontrada em diversos fenómenos da natureza e em inúmeras criações humanas e foi utilizada por Ralph Nelson Elliott para sua teoria das ondas que ainda hoje é utilizada na análise gráfica do mercado de ações.

Fonte: Newsletter do ActivoBank

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